什麼是 Wilson 信賴區間？

Wilson 信賴區間是指根據所依據的回答數量，一個測得百分比合理可能落在的範圍。在 20 個回答中被點名 6 次是 30%，95% Wilson 信賴區間約為 14.5% 至 51.9%。在 200 個中被點名 60 次也是 30%，但區間縮小到約 24.1% 至 36.7%。數字相同，確定程度卻差很多，而區分兩者的正是信賴區間。

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Wilson 信賴區間如何計算？

Wilson 信賴區間由成功次數、試驗次數與 z 值（95% 時為 1.96）計算而來，其中心會從觀察到的比率往 50% 拉近，樣本越小拉得越多。E. B. Wilson 於 1927 年提出（參考資料，讀取日期 2026 年 10 月 15 日）。

設 p 為觀察到的比例、n 為回答數、z = 1.96：

中心   = (p + z^2/(2n)) / (1 + z^2/n)
半寬度 = z / (1 + z^2/n) × √( p(1 - p)/n + z^2/(4n^2) )

20 中的 6：  p = 0.30, n = 20   →  14.5% 至 51.9%
200 中的 60：p = 0.30, n = 200  →  24.1% 至 36.7%

為什麼用 Wilson 而不是正負區間？

因為教科書上的區間，也就是 Wald 區間，恰好在 AI 能見度會出現的情況下失效：小樣本，以及接近 0% 或 100% 的比率。在 1 次試驗 1 次成功時，它會回報 100% 至 100%，彷彿一次檢查就是確定的。

Brown、Cai 與 DasGupta 在《Statistical Science》（2001）的回顧中發現，Wald 區間的涵蓋率很不穩定，並建議小樣本使用 Wilson（論文）。每個追蹤的問題都有自己的小計數，因此這個選擇影響報告的每一列。

Wilson 信賴區間在真實案例中是什麼樣子？

在公開的 Tesla 案例（2026 年 10 月 4 日）中，ChatGPT 在 25 個買家問題回答中有 16 個點名 Tesla：64%，95% Wilson 信賴區間約 45% 至 80%。Perplexity 在 25 個中點名 10 次：40%，約 23% 至 59%。

24 個百分點的差距看起來很明確。但兩個區間重疊，所以在各只有 25 個回答時，這是值得觀察的領先，而不是某個引擎偏好 Tesla 的證據。在全部四個引擎上，100 個回答中有 53 個點名，得出 53%，範圍收窄為 43% 至 62%：回答數增為四倍，寬度約減半。

區間重疊就代表沒有變化嗎？

不是，而這是最常見的誤讀。Payton、Greenstone 與 Schenker 指出，來自相同母體的兩個 95% 區間有超過 99% 的機會重疊，因此重疊檢查的效果像 1% 檢定而非 5% 檢定；約 83% 到 84% 的區間才相當於 5% 檢定（Journal of Insect Science，2003）。

在一個 200 個問題的計算範例中，從 42% 降到 30% 時兩個 95% 區間重疊，但標準的兩比例檢定得出 p = 0.012（文章）。請把重疊當作保守的警示，並在判定變化是真實還是雜訊之前做正式的檢定。